[MATLAB] 이산확률변수(Discrete Random Variable)

확률과 통계학 수업을 하면서 여러 확률모델에 관해 배웠다. 그중 이산적(discrete)인 Empirical PMF을 통해  Binomial RV와 Poisson RV를 비교해 보자.

 

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What is
Binomial Random Variable?

Binomial RV란 고등학교 확률과 통계 수업에서 배우는 '이항분포'와 같은 개념이다.

 

n번의 독립시행중 성공할 확률이 p일 때 갖는 이산확률분포이다.

 

말로 표현하기에는 와닿지 않으니 바로 PMF를 확인해 보자

위 식을 해석하자면

 

총 n번 시행 중

 

성공할 확률 : p, 실패할 확률 : q (=1-p)

 

일때 성공을 k번, 실패를 n-k번 발생할 때의 확률을 표현한 식이다.

 

평균 : E[X] = np

분산 : VAR[X] = npq = np(1-p)

 

Binomial RV는 매우 general한 형태이다.

 

n=1이면 Bernoulli(베르누이) RV를 형성하며

n이 많고, p가 적으면 Poisson(포아송) RV를 따른다.

 

Poisson RV의 PMF는 다음과 같이 표현되는데 과연 Binomial RV로부터 Poisson RV를 도출할 수 있는지 매트랩으로 확인해 보자.

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Binomial RV
VS
Poisson RV

앞서 Binomial RV에서 n이 많고 p가 적으면 Poisson RV를 따른다고 했다.

 

그렇다면 두개의 테스트를 통해

i) n=20, p=0.2

ii) n=50, p=0.02

일때 그래프를 비교해 보자.

n=20, p=0.02 일때

<code>

n=20;		#시행횟수
p=0.2;		#확률
a = n*p;
x = linspace(0,10,11);		#0부터 10까지 11개의 인덱스 생성
Binomial_PMF = linspace(0,10,10);
Poisson_PMF = linspace(0,10,10);

for k = 0:10
Binomial_PMF(k+1) = nchoosek(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k);
Poisson_PMF(k+1) = ((a^k)/factorial(k))*exp(-a);
end

bar(x,Binomial_PMF())
hold on
grid on
stem(x,Poisson_PMF)
xlabel("k")
ylabel("P[X=k]")
title("Approximation")
legend("Binomial PMF", "Poisson PMF")

<result>

n=50, p=0.02일때

<code>

n=50;
p=0.02;
a = n*p;
x = linspace(0,10,11);
Binomial_PMF = linspace(0,10,10);
Poisson_PMF = linspace(0,10,10);

for k = 0:10
Binomial_PMF(k+1) = nchoosek(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k);
Poisson_PMF(k+1) = ((a^k)/factorial(k))*exp(-a);
end

bar(x,Binomial_PMF())
hold on
grid on
stem(x,Poisson_PMF)
xlabel("k")
ylabel("P[X=k]")
title("Approximation")
legend("Binomial PMF", "Poisson PMF")

<result>

비교

n=20, p=0.2                                                                                n=50, p=0.02

결과를 학인해보면 시행횟수가 적고 확률이 크면 서로 오차가 크지만

 

시행횟수가 많고 성공할 확률이 매우 적으면 두개는 서로 근사한 값을 가짐을 알 수 있다.